Меню

Волновое уравнение для напряжения



Волновое уравнение

  • Что такое волновое уравнение
  • Общий вид
    • Составляющие уравнения
    • Операторы уравнения
  • Решение уравнения
    • Формула Д’Аламбера
    • Формула Пуассона-Парсенваля
    • Формула Кирхгофа
  • Решение в сферических координатах
  • Волновое уравнение механических волн
  • Примеры задач и решение

Что такое волновое уравнение

Волновое уравнение — линейное гиперболическое уравнение в частных производных, описывающее колебательные процессы в сплошных средах и электромагнетизме:

Где \(\triangle\) — оператор Лапласа, u=u(x,t) — дифференцируемая функция, \(x\in\mathbb^n\) — аргумент функции u в виде n-мерной переменной, t — время, v — фазовая скорость.

Волновые уравнения в математической физике применяются для описания малых поперечных колебаний струны и мембраны, акустических процессов в газообразных, жидких и твёрдых средах, электромагнитных и гравитационных волн.

Общий вид

Составляющие уравнения

При работе с физическими процессами в трёхмерном пространстве волновое уравнение получается из уравнения плоской волны.

Если мы имеем уравнение плоской волны:

\(A(\overrightarrow r,\;t)\;=\;A_0\cos(wt\;-\;(\overrightarrow k,\overrightarrow r)\;+\;\varphi_0)\)

Где \(A(x,\;t)\;\) — возмущение в точке x в момент времени t, \(A_0\) — волновая амплитуда, \(\omega\) — круговая частота, \(\overrightarrow k\) — волновой вектор, \(\overrightarrow k\;=\;\overrightarrow k(x,y,z)\) — радиус-вектор в точке \(x, y, z, \varphi_0\) — начальная фаза колебаний.

Если мы продифференцируем его по переменным x, y, z и t, то получим систему уравнений в частных производных:

При сложении уравнений (2), (3), (4) получаем:

Из уравнений (1) и (5) следует, что:

Таким образом, мы получаем общее волновое уравнение из суммы уравнений плоской волны в частных производных.

Для уравнений в n-мерных пространствах для построения берется система дифференциальных уравнений в частных производных по времени t и по каждому из n измерений.

Для одномерного пространства данное уравнение называется уравнением колебания струны и имеет следующую характеристику:

Из описанного выше мы можем сделать вывод, что в общем случае для решения волновых задач необходимо применение численных методов. Тем не менее, для некоторых случаев существуют аналитические решения уравнений.

Операторы уравнения

С применением оператора Лапласа уравнение (7) принимает привычный нам вид:

Оператором Д’Аламбера \(\square\) называется следующая разность:

Тогда волновое уравнение можно представить в виде:

Решение уравнения

В математической физике существуют несколько частных случаев волновых уравнений, для которых существуют аналитические решения:

  • формула Д’Аламбера;
  • формула Пуассона-Парсенваля;
  • формула Кирхгофа.

Формула Д’Аламбера

Рассмотрим формулу Д’Аламбера, являющейся частным случаем волновых уравнений в одномерном пространстве:

Где f=f(x,t) — вынуждающая внешняя сила, \(u(x,0)\;=\;\varphi(x),\;u_t(x,0)=\psi(x)\) — начальные условия.

Тогда решение формулы Д’Аламбера имеет вид:

Формула Пуассона-Парсенваля

Частным случаем волнового уравнения для поверхности или плоскости является формула Пуассона-Парсенваля.

Где \(u(x,0)=\varphi(x),\;u_t(x,0)=\psi(x)\) — начальные условия.

Тогда решение формулы Пуассона-Парсенваля имеет следующий вид:

Где \(u=u(x,t), f=f(x,t), u,\;f\;\in\mathbb^n\times\mathbb^+, \bigtriangleup\) — оператор Лапласа, при начальных условиях:

Мы получим следующее решение уравнения:

\(u(x,t)\;=\;\frac\partial<\partial t>\left[\frac1<4\mathrm<πa>^2\mathrm t>\iint\limits_S\varphi_0(y)d^2S_n\right]+\frac1<4\mathrm<πa>^2\mathrm t>\iint\limits_S\varphi_1(y)d^2S_n+\frac1<4\mathrm<πa>^2>\underset

Где \(S:\;\vert x-y\vert=at \) — сфера, по которой осуществляется интегрирование.

Решение в сферических координатах

Стандартное волновое уравнение в сферических координатах имеет следующий вид:

Требуется найти решение данного в обычной форме:

Используя в изначальном уравнении данную формулу, а также воспользовавшись методом разделения переменных, получаем:

Посредством преобразований получаем следующую систему уравнений:

Тогда, для любых \(\lambda_n=n(n+1),\;n\in\mathbb+\) имеет место:

Читайте также:  Сечение кабеля аввг напряжение

Для удобства дальнейших вычислений произведём замену функции f(r) на R(r):

Где \(R_n(r)=Z_(kr), а Z_(r)\) — решение уравнения Басселя с параметром \(p=n+\frac12.\)

Тогда мы получаем следующее выражение:

Волновое уравнение механических волн

Механические волны — упругие возмущения, распространяемые в упругой среде.

Рассматривают поперечные и продольные механические волны.

В продольных волнах колебания, несущие эту волну, осуществляется по вектору, параллельном направлению движения. Они возможны в газообразной, жидкой и твёрдой среде. Особенностью поперечных волн является возможность их наличия исключительно при возможности деформации сдвига в твёрдых средах.

В условиях распространения в бесконечной натянутой струне поперечная монохроматическая волна может быть описана следующим выражением (уравнением бегущей струны):

\(\xi(t,z)=A\cdot\cos\omega(t-\frac zv) (23)\)

Где \(\xi(t,z)\) — смещение частицы из положения равновесия в струне, z — расстояние от начала струны до точки равновесного положения частицы в струне, v — скорость распространения колебаний.

Примеры задач и решение

Найти скорость распространения звуковой волны, если частота колебаний равна \(\nu\) =400Гц, а амплитуда \(A=10^<-4>м\) и длина волны \(\lambda\) =0,8м. Также определить максимальную скорость частиц в данной среде.

Ввиду недостаточно строгого определения условий, сделаем допущение, что волна является плоской.

Тогда, сориентировав ее распространение по оси X, получим следующее уравнение:

Зная, что длина волны равна \(\lambda=\frac v\nu,\) получаем, что скорость волны равна:

Исходя из того, что скорость есть первая производная расстояния по времени, имеем:

\(\frac

=\frac d

(A\cos\omega(t-\frac x\nu))=-A\omega\sin\omega(t-\frac x\nu),\) следовательно:

Скорость распространения волны по упругой струне составляет \(\nu\) =10 м/с. Амплитуда колебаний точек в струне составляет A=0,05 м, период колебаний составляет Т=1 с. Сформулировать уравнение волны.

Так как в общем случае при распространении по оси X уравнение поперечной механической волны имеет вид:

то, найдя циклическую частоту по формуле \(\omega=\frac<2\pi>T=2\pi\;(рад/с),\) получаем:

\(\xi(t,z)=0,05\cdot\cos2\pi(t-\frac x10) (м)\)

Ответ: \(\xi(t,z)=0,05\cdot\cos2\pi(t-\frac x10)\) м.

Источник

Волновое уравнение. Аналогично основному уравнению динамики, которое описывает все возможные движения материальной точки

Аналогично основному уравнению динамики, которое описывает все возможные движения материальной точки, в области волновых процессов также существуют уравнения, описывающие все волны, независимо от их конкретного вида. Это дифференциальные уравнения в частных производных, связывающие изменения функции характеризующей волну, в пространстве и во времени.

Найдем эту связь для одномерных плоских волн типа . Введем величину фазы волны . Тогда

Сопоставив полученные выражения, получаем

Это уравнение справедливо для волн, распространяющихся в положительном направлении оси . Для волн, распространяющихся в противоположном направлении

Таким образом, для обоих случаев распространения уравнение принимает вид

Знаки «-» и «+» относятся к волнам, бегущим, соответственно, в положительном и отрицательном направлении оси .

Полученное уравнение является простейшим волновым уравнением. Во многих случаях оно является чрезвычайно полезным.

Поясним физический смысл производных, входящих в волновое уравнение. Производная по времени

— это проекция скорости частицы среды, движущейся около своего положения равновесия; а производная

относительная деформация среды. Поясним этот термин.

Выделим мысленно малый (по сравнению с изменением профиля волны) цилиндрический элемент среды вдоль направления распространения волны. Поскольку колебания торцов выделенного элемента происходит со сдвигом по фазе, то в каждый момент времени они сдвинуты относительно положения равновесия не разные расстояния. Следовательно, при прохождении продольной волны этот элемент будет смещаться и деформироваться. Пусть левый конец отклонился от равновесного положения на величину , а правый – на величину . По определению относительная деформация определяется выражением

Читайте также:  Защитные устройства от высокого напряжения

Относительная деформация – алгебраическая величина: она может быть положительной (растяжение) и отрицательной (сжатие).

Согласно уравнению (14), в данной точке среды в данный момент времени относительная деформация пропорциональна скорости смещения относительно равновесного положения:

Пример. Продольная волна распространяется в длинном стержне (ось ). В некоторый момент смещения частиц из положения равновесия имеют вид как на рисунке. Зная, что волна распространяется в положительном направлении оси , найдем (качественно) зависимость скорости частиц среды от координаты в этот же момент времени.

Согласно волновому уравнению (14), пространственная и временная производные возмущения связаны линейной зависимостью. При этом пространственная производная в каждой точку характеризует наклон (крутизну) кривой к оси . Изобразим график как функцию штриховой линией. Поскольку волна распространяется в положительном направлении оси , знак в волновом уравнении должен быть отрицательным. Это значит, что график как функции является зеркальным отражением графика . Он изображен точечной кривой.

Общее волновое уравнение. Получим уравнение справедливое для волн, распространяющихся в любом направлении, а также для суперпозиции таких волн. Дифференцируя возмущения вида , получаем

Это одномерное волновое уравнение второго порядка. Ему удовлетворяют все возмущения вида

где , — произвольные функции. Данное уравнение справедливо для сред, затухание в которых пренебрежимо мало.

Волновое уравнение для трехмерных волн

— оператор Лапласа. (27.20)

Волновое уравнение играет важную роль в теории волновых процессов. Если мы, исходя из законов механики при изучении некоторого явления, придем к любой форме этого уравнения, то сразу можем утверждать о его волновом характере.

Уравнение (20), в отличие от уравнения (19), описывает не только плоские волны, но и волны с произвольной формой поверхности постоянной фазы, в частности, сферические и цилиндрические волны.

Сферическая волны. В однородной изотропной среде продольная волна от точечного источника представляет собой сферически расходящееся возмущение вида

где – расстояние от точечного источника возмущения. В частности, если источник возбуждает продольные монохроматические колебания, то уравнение (21) принимает вид

где — постоянная, – амплитуда волны. В присутствие линейного поглощения

Цилиндрическая волна. Такие волны распространяется от источников, равномерно распределенных вдоль оси в однородной среде. Структура цилиндрической волны значительно сложнее сферической. Ее форма (в отличие от плоской или сферической волн) не повторяет временного поведения функции источника: волна тянет за собой длинный «шлейф». И только на больших расстояниях от источника ее можно представить виде

В частности, монохроматическая расходящаяся волна на расстояниях , значительно превышающих длину волны, имеет вид

Источник

Волновое уравнение для напряжения

Часто бывает удобно, исключая все величины, характеризующие волну, кроме одной, привести полную систему уравнений акустики к одному-единственному уравнению относительно этой величины.

Для адиабатического процесса полную систему образуют уравнения первого порядка (13.2) и (13.12), где сжимаемость есть Рад. В однородной среде величины Рад и не зависят от координат; продифференцируем уравнение (13.12) по времени, переставим порядок дифференцирования скорости по времени и по пространству и заменим величину на ее значение из уравнения (13.2): Тогда получим уравнение

Читайте также:  Как понизить напряжение сети для телевизора

где Это — волновое уравнение для давления. В результате исключения других величин порядок уравнения повысился: волновое уравнение имеет второй порядок.

Если в той или иной задаче удалось найти решение (16.1) для давления в волне как функции координат и времени, то скорость частиц определим простой квадратурой при помощи формулы (13.3). Аналогично можно найти и другие характеристики волны (например, сжатие или изменение температуры).

Как было сказано в § 13, исходные уравнения первого порядка справедливы как в однородной, так и в любой неоднородной среде. Но волновое уравнение справедливо уже не для всех неоднородных сред. Если от координат зависит только сжимаемость среды, а невозмущенная плотность постоянна по всему пространству, то волновое уравнение сохранит свою форму (16.1). Однако теперь это — уравнение с переменными коэффициентами, в котором величина с меняется от точки к точке и вообще не имеет смысла скорости звука в среде, потому что в такой среде волны вообще не сохраняют свою форму при распространении.

Если от координат зависит плотность среды, то, повторяя процедуру исключения скорости частиц, придем к уравнению вида

отличающемуся от волнового уравнения.

Волновое уравнение с переменным коэффициентом справедливо и для потенциала скоростей, если плотность постоянна по всей среде. Для того чтобы волновому уравнению удовлетворяли сжатие среды и компоненты скорости частиц, необходимо, чтобы были постоянными и сжимаемость, и плотность.

Волновое уравнение в декартовых координатах имеет вид

Если движение зависит только от одной координаты, например х, то волновое уравнение принимает вид

Для справок приведем здесь запись волнового уравнения в часто применяющихся цилиндрической и сферической системах координат. В цилиндрической системе уравнение имеет вид

В сферических координатах уравнение имеет вид

Нам удалось упростить точные уравнения гидродинамики, пользуясь тем, что в акустике смещения частиц малы по сравнению с расстояниями, на которых эти смещения заметно меняются. Но такой подход принципиально связан с выбором системы координат, относительно которой невозмущенная среда покоится. В системе координат, движущейся относительно среды, смещения частиц уже не будут малы и в новой системе нельзя будет произвести такие же упрощения. Поскольку принцип относительности Галилея справедлив для точных уравнений гидродинамики, он неприменим к упрощенным уравнениям: волновое уравнение, которое мы получили из упрощенных уравнений, не инвариантно по отношению к галилееву преобразованию.

В самом деле, пусть имеем волну , удовлетворяющую в системе координат , связанной с невозмущенной средой, волновому уравнению (16.2). Возьмем систему координат , движущуюся относительно среды со скоростью в направлении оси х. Формулы перехода от одной системы координат к другой имеют вид

В новой системе координат зависимость давления от координат и времени примет вид

Частные производные по координатам останутся без изменения, но частная производная по времени изменится: будем иметь

Подставляя в волновое уравнение, найдем, что в новой системе координат давление удовлетворяет уравнению

отличающемуся от волнового. Таким образом, пользуясь упрощенными уравнениями, мы привязываем себя к «абсолютной» системе координат.

Источник