Меню

Имеется 100 станков равной мощности работающих независимо друг от друга



Имеется 100 станков равной мощности работающих независимо друг от друга

1.На отдельных карточках написаны цифры 1,2,3,4,5,6,7,8,9.Все 9 карточек тщательно перемешаны.после чего наугад берут 4 из них и раскладывают в ряд друг за другом в порядке появления.какова вероятность получить при этом:1)четное число 2)число1234?

Посчитаем число n всевозможных исходов. Способов выбрать 4 карточки из 9 имеющихся (порядок важен)
n = A(4;9) = 9!/(9-4)! = 9!/5! = 6*7*8*9 = 3024

Посчитаем число m исходов, благоприятных событию A. Для того, чтобы число было четным, на последней позиции должно стоять одно из чисел 2, 4, 6 или 8, то есть m1 = 4 варианта. Последняя цифра зафиксирована. Выбрать оставшиеся 3 цифры из 8 имеющихся (порядок важен) можно
m2 = A(3;8) = 8!/(8-3)! = 8!/5! = 6*7*8 = 336 способами.
По правилу произведения
m = m1*m2 = 4*336 = 1344

По классическому определению вероятности
P(A) = m/n = 1344/3024 = 4/9

Посчитаем число k исходов, благоприятныхз событию B. Составить число 1234 можно только k=1 способом.

По классическому определению вероятности
P(B) = k/n = 1/3024

Посчитаем число n всевозможных исходов. К остановке может подойти любой из 9 автобусов, то есть n = 9.

Посчитаем число m исходов, благоприятных событию A. Пассажиру подойдет только один из трех автобусов, то есть m = 3.

По классическому определению вероятности
P(A) = m/n = 3/10 = 0.3

n = 7 — количество моторов
p = 0.6 — вероятность перегрева одного мотора
q = 1 — p = 1 — 0.6 = 0.4

m — количество моторов, которые перегреются за смену

1) P(m=3) = C(3;7)*((0.6)^3)*((0.4)^4) =
= 35*(0.216)*(0.0256) = 0.193536

2) P(3
5.Локальная теорема Муавра-Лапласса.
Сто станков работает независимо один от другого.вероятность бесперебойной работы каждого из них в течение рабочей смены одинакова и равна 0,8.вычислить вероятность того,что в течение рабочей смены бесперебойно будут работать: 1)80 станков 2)от 80 до 95,5 3)не более 80 4) не менее 80.

n = 100 — количество станков
p = 0.8 — вероятность бесперебойной работы станка
q = 1 — p = 1 — 0.8 = 0.2

np = 100*(0.8) = 80
npq = 100*(0.8)*(0.2) = 16
sqrt(npq) = sqrt(16) = 4

m — количество бесперебойно работающих станков

2) P(80 = 80) = 0.5 — Ф((80-80)/4) = 0.5 — Ф(0) = 0.5 — 0 = 0.5

1) n = 196
p = 0.1
q = 1 — p = 1 — 0.1 = 0.9

np = 196*(0.1) = 19.6
npq = 196*(0.1)*(0.9) = 17.64
sqrt(npq) = sqrt(17.64) = 4.2

1) А) Найти вероятность того, что событие А появится не менее к и не более (к+l) раз. n=100; p=0.2; k=20; l=60
Б) Найти значение наивероятнейшего числа m появления события А. Вычислить его вероятность. n=100; p=0.2; k=20; l=60
В) Найти вероятность того, что событие А произойдет хотя бы один раз.
n=600, p=0,001.

Цитата: Dayron написал 13 окт. 2009 19:44

1) А) Найти вероятность того, что событие А появится не менее к и не более (к+l) раз. n=100; p=0.2; k=20; l=60
Б) Найти значение наивероятнейшего числа m появления события А. Вычислить его вероятность. n=100; p=0.2; k=20; l=60
В) Найти вероятность того, что событие А произойдет хотя бы один раз.
n=600, p=0,001.

q = 1 — p = 1 — 0.2 = 0.8
np = 100*(0.2) = 20
npq = 100*(0.2)*(0.8) = 16
sqrt(npq) = sqrt(16) = 4

k = 20
l = 60
k+l = 20+60 = 80

Цитата: Dayron написал 13 окт. 2009 19:44

2) Определить закон распределения дискретной случайной величины, если известна ее дисперсия, причем x1

X 6 9 x3 15
P 0.3 0.3 0.1 p4

0.3 + 0.3 + 0.1 + p4 = 1
0.7 + p4 = 1
p4 = 0.3

X 6 9 x3 15
P 0.3 0.3 0.1 0.3

M(X) = 6*(0.3) + 9*(0.3) + x3*(0.1) + 15*(0.3) =
= 1.8 + 2.7 + (0.1)x3 + 4.5 = 9 + (0.1)x3

M(X^2) = 36*(0.3) + 81*(0.3) + ((x3)^2)*(0.1) + 225*(0.3) =
= 10.8 + 24.3 + (0.1)((x3)^2) + 67.5 = 102.6 + (0.1)((x3)^2)

D(X) = M(X^2) — (M(X))^2 =
= 102.6 + (0.1)((x3)^2) — (9 + (0.1)(x3))^2 =
= 102.6 + (0.1)((x3)^2) — (81 + (1.8)x3 + (0.01)(x3)^2) =
= 102.6 + (0.1)((x3)^2) — 81 — (1.8)x3 — (0.01)((x3)^2) =
= (0.09)(x3)^2 — (1.8)x3 + 21.6 = 12.96

(0.09)(x3)^2 — (1.8)x3 + 8.64 = 0
(0.01)(x3)^2 — (0.2)x3 + 0.96 = 0
(x3)^2 — 20×3 + 96 = 0
x3 = 8 или x3 = 12

X 6 9 12 15
P 0.3 0.3 0.1 0.3

Цитата: Dayron написал 13 окт. 2009 19:44

3)Определить вероятность того, что нормально распределенная случайная величина X принимает значения, находящиеся в интервале («альфа»,»бэтта») если математическое ожидание величины равно a, а среднее квадратическое отклонение — «сигма». a=15; «сигма»=4; «альфа»=10; «бэтта»=12

какое число степеней свободы надо взять для критерия кси^2, если предполагается, что случайная величина, представленная выборкой, имеет распределение Пуассона, а область наблюдения разбита на 10 интервалов?

Источник

Теория вероятности 1

Для просмотра формул ваш браузер должен поддерживать MathML.

Объявления Последний пост
Объявление Работодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий 26.03.2008 03:07
Объявление Запущен новый раздел «Задачки и головоломки» 29.08.2019 00:42
Объявление Ищем преподавателя для углубленного обучения статистическим методам 29.05.2020 13:22

1) К кладу ведут три дороги. Вероятность погибнуть на первой дороге равна 0.4; на второй — 0.7; на третьей — 0,8. Найти вероятность того, что ковбой доберётся до клада, при условии, что дороги выбираются на удачу.

2) В скольких партиях игры в шахматы с равным по силе противником выигрыш более вероятен: а) в трёх партиях из четырёх или пяти партиях из восьми?

7) Имеется 100 станков равной мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме при включённом приводе в течение 0,8 всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольный момент времени окажутся включёнными: а) от 70 до 86 станков; б) ровно 90 станков?

Источник

Методические указания и задания к контрольной работе №3 для студентов-заочников специальности 1-26. 02. 02 «менеждмент» Минск 2004

Главная > Методические указания

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

3. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БАЙЕСА

Если событие А может произойти только совместно с одним из событий , образующих полную группу событий (гипотез), то вероятность события А определяется по формуле полной вероятности
, (9)
где — вероятность гипотезы ; — условная вероятность события А при этой гипотезе, . Вероятность гипотезы после того, как появилось событие А , определяется по формуле Байеса
(10)

Пример 9. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных заводом №1, 20 деталей — заводом №2 и 18 деталей — заводом №3. Вероятность того, что деталь, изготовленная заводом №1, — отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах №2 и №3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наугад деталь окажется отличного качества.

Решение. Пусть событие А =<деталь отличного качества>. Рассмотрим гипотезы: =<деталь изготовлена заводом №1>; = <деталь изготовлена заводом №2>;
=< деталь изготовлена заводом №3>. Вероятности этих гипотез: . Условные вероятности: . По формуле полной вероятности (9) при n =3 находим искомую вероятность .

Пример 10. В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятность гарантийной работы кинескопа: 0,8; 0,95; 0,9 и 0,7 для первого, второго, третьего и четвертого соответственно. Найти вероятность того, что наудачу выбранный кинескоп будет работать в течение гарантийного срока.

Решение. Событие А =<кинескоп проработает гарантийный срок>. Гипотезы = <выбран k -й кинескоп>( k =1,2,3,4). Эти гипотезы равновероятны, т.е. . Условные вероятности . По формуле полной вероятности (9) при n =4 находим искомую вероятность события А
.

Пример 11. Самолет морской авиации производит бомбометание с малой высоты по кораблю противника. При попадании бомбы в надводную часть корабль гибнет с вероятностью 0,6, при попадании в подводную часть — с вероятностью 0,9. Вероятность попадания бомбы в надводную часть равна 0,6, в подводную — 0,4. Определить вероятность гибели корабля в результате бросания одной бомбы.

Решение. Событие А =<гибель корабля>. Формулируем гипотезы: =<попадание бомбы в надводную часть корабля>; =<попадание бомбы в подводную часть корабля>. По условию вероятности гипотезы соответственно равны: . Условные вероятности события А будут такими: . Тогда:

Пример 12. Счетчик регистрирует частицы 3 типов: А , В и С . Вероятности появления этих частиц: P ( A )=0,2; P ( B )=0,5; P ( C )=0,3. Частицы каждого из этих типов счетчик улавливает с вероятностями . Счетчик отметил частицу. Определить вероятность того, что это была частица типа В .

Решение. Обозначим событие D =<счетчик уловил частицу>. Гипотезы: =<появление частицы типа А >; =<появление частицы типа В >; =<появление частицы типа С >. Вероятности гипотез: . Условные вероятности: . Искомую вероятность определим по формуле Байеса (10)

Пример 13. Сборщик получает 50% деталей завода №1, 30% — завода №2, 20% — завода №3. Вероятность того, что деталь завода №1 — отличного качества, равна 0,7; завода №2 — 0,8; завода №3 — 0,9. Наугад взятая деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена заводом №1.

4. ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ

4.1. Формула Бернулли

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность появления события А постоянна и равна p , то вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет ровно m раз, определяется по формуле Бернулли
. (11)

4.2. Формула Пуассона

Если n велико, а p мало ( обычно p npq 9 ), то вместо формулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона
, (12)
где = np .

4.3. Локальная теорема Лапласа

Если n велико, вероятность может быть вычислена по приближенной формуле
, (13)
где .
Значения функции ( x ) определяются из таблицы .

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна p (0 p А наступит не менее раз и не более раз, приближенно равна
, (14)
где — функция Лапласа, , . Значения определяются из таблицы; =1/2 при x>5, = – .

Пример 14. В мастерской имеется 10 моторов. При существующем режиме работы вероятность того, что в данный момент не менее 8 моторов работают с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент не менее 8 моторов работают с полной нагрузкой.

Решение. Рассмотрим события: А =<не менее 8 моторов из 10 в данный момент работают с полной нагрузкой>; B , C , D — события, состоящие в том, что работают соответственно 8, 9 и 10 моторов. Тогда A = B + C + D . Так как события B , C и D несовместны, P ( A )= P ( B )+ P ( C )+ P ( D ). Найдем вероятности событий B , C и D по формуле Бернулли (11):

Тогда .

Пример 15. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

Решение. По условию n =100, m =75, p =0,8, q =0,2. Так как n =100 велико, воспользуемся формулой (13) локальной теоремы Лапласа. Для этого найдем . По таблице найдем
(–1,25)=0,1826. Искомая вероятность .

Пример 16. Предприятие отправило на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002.Найти вероятность того, что на базу прибудет ровно 3; не более 3 негодных изделий.

Решение. Воспользуемся формулой Пуассона (12). В данном случае m =3, p =0,0002, n =5000, = np =1; . Вероятность того, что на базу прибудет не более 3 негодных изделий, равна

Пример 17. Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга, в одинаковом режиме, при включенном приводе, в течение 0,8 всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными от 70 до 86 станков?

Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа ( формула (14)) , где — функция Лапласа;
;
.

4.5. Наивероятнейшее число появлений события

Наивероятнейшее число появления события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может появиться с вероятностью p ( и не появиться с вероятностью q = 1 – p ), определяется из двойного неравенства
np — q   np + p , (15)
а вероятность появления события А хотя бы один раз вычисляется по формуле
P =1 – q n . (16)

Пример 18. Оптовая база снабжает 10 магазинов, от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,4, независимо от заявок других магазинов. Найти наивероятнейшее число заявок в день и вероятность получения этого числа заявок.

Решение. Запишем двойное неравенство (15) при n =10, p =0,4, q =0,6 для этого случая: 100,4-0,6 100,4+0,4 или 3,4 4,4.

Так как число должно быть целым, положительным, то =4. Найдем вероятность получения этого числа по формуле Бернулли (11) .

Пример 19. Вероятность попадания в десятку при одном выстреле равна 0,3. Сколько должно быть произведено независимых выстрелов, чтобы вероятность хотя бы одного попадания в десятку была больше 0,9?

Решение. Для решения этой задачи воспользуемся формулой (16). В данном случае p =0,3; q =0,7; P >0,9; число выстрелов n необходимо определить из неравенства 1-(0,7) n >0,9. Решим его: (0,7) n 5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Источник

Читайте также:  Полная мощность двигателя больше недоступна дальнейшее движение возможно ехать осторожно
Adblock
detector