Меню

Что мы называем вектором напряжения



Массовые и поверхностные силы. Вектор напряжений

В механике сплошной среды различают два типа внешних сил, действующих на элемент объема сплошной среды, – массовые и поверхностные силы.

Массовой силой называется сила, действие которой не зависит от присутствия других частей сплошной среды, кроме рассматриваемого элемента, а численное значение пропорционально массе этого элемента.

Примером массовой силы могут служить сила тяжести (гравитационные силы), электромагнитные силы, силы инерции.

Напряженностью или массовой плотностью поля массовой силы называется массовая сила, отнесенная к единице массы сплошной среды.

Например, напряженность силы тяжести равна ускорению свободного падения . Для тела, движущегося в инерциальной системе отсчета с ускорением , напряженность даламберовой силы инерции равна .

Поверхностными силами называются силы, приложенные к элементу сплошной среды со стороны прилегающих к нему частиц остальной части сплошной среды. Эти силы действуют на поверхность рассматриваемого элемента. Поверхностная сила, отнесенная к единице площади поверхности, на которую она действует, называется напряжением.

Обозначим через главный вектор поверхностных сил, действующих на площадку с нормалью .

Напряжение – это удельная поверхностная сила (Рис. 2.1.1).

Рис. 2.1.1 Вектор напряжений зависит от ориентации площадки . Индекс показывает, что напряжение вычислено на площадке с нормалью (это не проекция на ).

Обратим внимание, что , т.е. – нечетная функция. Размерность : .

Рис. 2.1.2 Вектор напряжений на площадке с нормалью в каждой точке сплошной среды можно разложить на две составляющие – в направлении нормали ( – нормальное напряжение) и касательной ( – касательное или сдвиговое напряжение) к площадке (Рис.2.1.2).

Совокупность всевозможных векторов напряжений в точке определяет напряженное состояние в этой точке. Задача состоит в том, чтобы научиться определять напряжение на площадке с нормалью .

Тензор напряжений

Пусть задана площадка с нормалью . Нужно научиться определять напряжение на этой площадке.

Оказывается, что задать напряженное состояние сплошной среды в точке или, что то же самое, определить правило вычисления вектора напряжений на любой площадке, содержащей эту точку , можно, задавая векторы напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках в точке .

Убедимся в этом. Возьмем точку за начало системы координат и обозначим через – вектор напряжений на площадке с нормалью , лежащей на соответствующей координатной плоскости. Разложим векторы напряжений по базису :

Девять компонент определяют тензор 2-го ранга (докажем это позже), который называется тензор напряжений:

Заметим, что -й столбец матрицы тензора напряжений составлен из компонент вектора напряжений . Разложение тензора напряжений по соответствующему базису имеет вид

σ .

Рассмотрим механический смысл компонент тензора напряжений. Поясним его на примере компонент , , .

дает нормальное напряжение на этой площадке, а проекции

и

определяют касательные (сдвиговые) напряжения в направлении и соответственно. Нормальные напряжения связаны с деформаций растяжения, а касательные – с деформацией сдвига. Аналогично можно выяснить механический смысл остальных компонент тензора напряжений.

Таким образом, диагональные компоненты тензора напряжений задают нормальные напряжения на соответствующих координатных площадках, а недиагональные – сдвиговые напряжения в направлении соответствующих осей координат: – нормальное напряжение на -й координатной площадке, – касательное напряжение.

Рис. 2.2.2 Теперь найдем вектор напряжений на произвольной площадке с нормалью , содержащей точку .

Для этого рассмотрим материальный тетраэдр с вершиной в точке , основанием , перпендикулярным нормали , и боковыми гранями, лежащими на координатных плоскостях (Рис. 2.2.2). Запишем условие равновесия тела – равенство нулю суммы действующих массовых и поверхностных сил

где , , – объем, поверхность и плотность тела соответственно. Массовые силы складываются из внешних сил с напряженностью и даламберовых сил инерции с напряженностью . Поверхностные силы задаются вектором напряжений , где – внешняя нормаль к поверхности .

Обозначим площади основания и боковых граней

причем индексы 1, 2, 3 совпадают с номером координатной оси, перпендикулярной данной грани.

так как каждая боковая грань является проекцией основания на соответствующую координатную плоскость.

Таким образом, . Объем тетраэдра , где – высота тетраэдра.

Интеграл по поверхности представим как сумму интегралов по граням тетраэдра .

Применив теорему о среднем к каждому интегралу, получим

Выразим объем V и площади , и через и учтем нечетность функции . Получим

Так как , то поделим на него данное выражение. Устремим к нулю, при этом грань в пределе совпадет с рассматриваемой площадкой, т.е. в пределе будет искомым напряжением. Точки , , и переходят в точку . Получим

Выражая через компоненты , получим

σ,

σ.

Итак, чтобы вычислить вектор напряжений на произвольной площадке с нормалью , содержащей точку , нужно найти проекцию тензора напряжений σ, вычисленного в точке , на направление нормали . Тензор напряжений σ в точке определяет напряженное состояние сплошной среды в этой точке.

Докажем, что девять компонент образуют тензор 2-го ранга, т.е.

Для этого рассмотрим вектор напряжений на произвольной площадке с нормалью . Вектор является инвариантом, следовательно,

Источник

Построение векторных диаграмм

Достаточно сложным и чаще всего не изучаемым аспектом темы переменный ток является метод построения векторных диаграмм. Анализируя вынужденные электромагнитные колебания, мы уже обсудили сдвиг тока и напряжения на реактивных сопротивлениях (катушка индуктивности и конденсатор) по сравнению с активным сопротивлением (резистор). Тогда одним из задаваемых вопросов задачи является вопрос о направлении суммарного тока или напряжения в данный конкретный момент времени. Для ответа на этот вопрос и используется метод построения векторных диаграмм.

Читайте также:  Тоническое напряжение мышц туловища с насильственным поворотом головы

Векторная диаграмма — это изображение гармонически изменяющихся величин (текущего тока и напряжения) в виде векторов на плоскости.

Векторная диаграмма

Рис. 1. Векторная диаграмма

Построение векторных диаграмм происходит в прямоугольной декартовой системе координат. Построение начинается с проведения вектора, численно равного амплитудному значению тока в цепи. Данный вектор сонаправим в осью ОХ (рис. 1.1).

Т.к. напряжение на активном сопротивлении находится в одной фазе с током, то вектор амплитуды напряжения сонаправлен с вектором тока (рис. 1.2. красный).

На катушке напряжение опережает ток, поэтому отложим вектор амплитуды напряжения на катушке (\displaystyle <<U data-lazy-src=

\displaystyle \cos \varphi =\frac<R data-lazy-src=

  • \displaystyle Z— полное сопротивление цепи.
  • Вывод: задачи на данную тематику касаются поиска сдвига фаз между колебаниями силы тока и напряжения через график (рис. 1.4) или через соотношение (3), а также поиска полного напряжения в цепи также через график (рис. 1.4) или через соотношение (2).

    Источник

    Что мы называем вектором напряжения

    На рис. 2.2 изображена область пространства, занятая материальным континуумом, на который действуют поверхностные силы и массовые силы Из-за того, что действие сил передается от одной части среды другой, материал внутри произвольного объема V, ограниченного поверхностью взаимодействует с материалом вне этого объема. Возьмем в качестве единичного вектора внешней нормали в точке к малой площадке поверхности и обозначим через результирующую силу, действующую через площадь на материал внутри V со стороны внешней среды. Ясно, что элементарная сила зависит от выбора и от Следует также заметь, что распределение силы на не обязательно однородно. В самом деле, в общем случае это распределение эквивалентно одной силе моменту, приложенным в точке и представленным на рис. 2.2 векторами и

    Средняя сила, отнесенная к единице площади площадки задается величиной Принцип напряжения Коши утверждает, что это отношение стремится к определенному пределу когда стягивается в точку в то время как момент силы относительно точки в пределе стремится к нулю. Результирующий вектор отнесенная к единице площади) называется вектором напряжения (рис. 2.3).

    Если бы момент в точке при предельном переходе не обращался в нуль, то в этой точке был бы также определен вектор момента (пары) напряжений, изображенный на рис. 2.3 стрелкой с двойным острием. Один из разделов теории упругости изучает такие поверхностные пары, но в этой книге они не рассматриваются.

    Вектор напряжения определяется следующим образом:

    Обозначение используется для того, чтобы подчеркнуть тот факт, что вектор напряжения в данной точке сплошной среды, очевидно, зависит от ориентации выбранного элемента поверхности которая задается единичным вектором нормали Если взять любой иначе ориентированный элемент поверхности с другой единичной нормалью, то связанный с ним вектор напряжения в точке тоже будет другим. Вектор напряжения, выражающий действие через площадку в точке материала, расположенного внутри V, на внешнюю среду, есть вектор Тогда по закону Ньютона о равенстве действия и противодействия

    Вектор напряжения иногда называют вектором натяжения.

    Источник